② 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.

命题 r(A)就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式都为0,都是A有阶数等于r(A)非0子式.)

在作矩阵的运算中,矩阵的秩有性质:

① r(A T)=r(A).

② 如果c不为0,则r(cA)=r(A).

③ r(A±B)£r(A)+ r(B).

④ £Min{r(A),r(B)}. ⑤当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).

⑥ 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.

⑦ 如果r(A)等于列数,则r(AB)=r(B).

下面给出⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.

设向量组a1, a2,¼ ,as线性无关,向量组b1, b2,¼ ,bt可用a1, a2,¼ ,am线性表示,表示矩阵为C,则
i) r(b1, b2,¼ ,bt)=r(C).

ii) 如果t=s (此时C是t阶矩阵),则b1, b2,¼ ,bs线性无关Û C可逆.

(令A=(a1, a2,¼ ,as), B=(b1, b2,¼ ,bt),则B=AC, 并且r(A)=列数s,用⑦得到r(b1, b2,¼ ,bs)=r(C). t=s时,C可逆Ûr(b1, b2,¼ ,bs)=r(C)=s Ûb1, b2,¼ ,bs线性无关.或直接用⑤证明ii): C可逆时r(B)=r(A)=s,从而b1, b2,¼ ,bs线性无关.如果C不可逆,则r(b1, b2,¼ ,bs)£r(C)< s, 从而b1, b2,¼ ,bs线性相关.)

练习题三

1． a1,a2 ,…,ar线性无关Û ( )．

(A) 存在全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k1a1+ k2a2+…+ krar=0；

(B) 存在不全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k1a1+ k2a2+…+ krar≠0；

(C) 每个ai都不能用其它向量线性表示；

有线性无关的部分组．