第四章 向量组的线性关系与秩

1. 向量组的线性表示关系

如果n维向量b等于n维向量组a1, a2,¼ ,as的一个线性组合，就说b可以用a1, a2,¼ ,as线性表示.

判别“b是否可以用a1, a2,¼ ,as线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程

x1a1+ x2a2+¼ +xsas=b

是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以(a1, a2,¼ ,as |b)为增广矩阵的线性方程组.

设a1, a2,¼ ,as 和b1, b2,¼ , bt 都是n维向量组,如果每个bi都可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则说向量组b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示.

例如, 乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之,如果向量组b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则矩阵(b1, b2,¼ , bt)等于矩阵(a1, a2,¼ ,as)和一个s´t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是bi对a1, a2,¼ ,as的分解系数.

当向量组a1, a2,¼ ,as 和b1, b2,¼ , bt 互相都可以表示时,就说它们互相等价,并记作{a1, a2,¼ ,as }@{b1, b2,¼ , bt} .

向量组的线性表示关系有传递性,从而等价关系也有传递性.

2. 向量组的线性相关性

线性相关性是描述向量组内在关系的概念.

定义 设a1, a2,¼ ,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,¼ ,cs使得

c1a1+ c2a2+¼ ,+csas=0,

则说a1, a2,¼ ,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+ c2a2+¼ ,+csas=0,必须c1,c2,¼ ,cs全为0)就说它们线性无关.

于是, a1, a2,¼ ,as “线性相关还是无关”即x1a1+ x2a2+¼ ,+xsas=0“有还是没有非0解”, 也就是以(a1, a2,¼ ,as )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.

一个向量(s=1)相关(无关)即它是(不是)零向量.

与线性相关性有关的性质:

① a1, a2,¼ ,as 线性相关Û至少有一个ai可以用其它向量线性表示.

② 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,¼ ,as 一定线性相关.

③ 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量就不是0).

④ 如果a1, a2,¼ ,as 线性相关,而a1, a2,¼ ,as,b线性相关,则b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示.

⑤ 如果b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示,则表示方式唯一Ûa1, a2,¼ ,as 线性无关.

⑥ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示，并且t>s,则 b1.b2,¼,bt 线性相关.

推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.