3.向量组的极大无关组和秩

秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.

定义 设a1, a2,¼ ,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果

① (I) 线性无关.

② (I) 在扩大就线性相关.

就称(I)为a1, a2,¼ ,as 的一个极大无关组.

条件②可换为:任何aI都可用(I) 线性表示.也就是(I) 与a1, a2,¼ ,as 等价.

当a1, a2,¼ ,as 不全为零向量时, 它就存在极大无关组, 并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等,

定义 如果a1, a2,¼ ,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1, a2,¼ ,as 的秩,记作r(a1, a2,¼ ,as ).如果a1, a2,¼ ,as 全是零向量,则规定r(a1, a2,¼ ,as )=0.

秩有以下性质:

① a1, a2,¼ ,as 线性无关Û r(a1, a2,¼ ,as )=s.

② b可用a1, a2,¼ ,as 线性表示Ûr(a1, a2,¼ ,as，b)=r(a1, a2,¼ ,as ).(见例3.2)

③ 如果r(a1, a2,¼ ,as )=k,则

i) a1, a2,¼ ,as 的每个含有多于k个向量的部分组相关.

ii) a1, a2,¼ ,as 的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组..

④ 如果b1, b2,¼ , bt可以用a1, a2,¼ ,as线性表示,则

r(b1, b2,¼ , bt)£r(a1, a2,¼ ,as ).

如果a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bt等价,则

r(a1, a2,¼ ,as )=r(b1, b2,¼ , bt).

极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.

4. 有相同线性关系的向量组

两个向量数相同的向量组a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs称为有相同线性关系,如果向量方程

x1a1+ x2a2+¼ +xsas=0和x1b1+ x2b2+¼ +xsbs=0

同解.

(例如,当A经过初等行变换化为B时, A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.)

当a1, a2,¼ ,as和b1, b2,¼ , bs有相同线性关系时,

(1)它们的秩相等.

(2)它们的极大无关组相对应.

(3)它们有相同的内在线性表示关系.

5.矩阵的秩

定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称为此矩阵的秩,记作r(A).

于是

r(A)=0Û A=0.

如果A是m´n矩阵,则r(A)£Min{m,n},当等号成立时,称A为满秩的.

如果A是n阶矩阵,则A满秩,即r(A)=nÛ A的行(列)向量组无关

Û|A|¹0ÛA可逆ÛAX=b有唯一解Û齐次方程组AX=0只有零解.

命题 ① 初等变换保持矩阵的秩.