(2) 可逆矩阵

定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.

此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.

矩阵可逆性的判别:

① n阶矩阵A可逆Û|A|¹0.

② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=EÛBA=E.)

可逆矩阵有以下性质:

① 如果A可逆,则

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.

AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.

对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.

(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.