3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组,

设A是m´n矩阵B是n´s矩阵. A的列向量组为a1, a2,¼ ,an,B的列向量组为b1, b2,¼ ,bs, AB的列向量组为g1, g2,¼ ,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:

① AB的每个列向量组为gi=Abi,i=1,2,¼,s.

即A(b1, b2,¼ ,bs)= (Ab1,Ab2,¼ ,Abs).

② b=(b1,b2, ¼,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+ ¼+bnan.

应用这两个性质可以得到:

乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组为a1, a2,¼ ,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bI的各分量.

类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.

以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.

用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.

单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.

数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.

4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

(1) 矩阵方程

矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.

(I) AX=B. (II) XA=B.

其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解
当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B=(b1, b2,¼ ,bs),则 X也有s列,记X=(c1, c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2, ¼,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得

(I)的解法:

将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.

(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X..

矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.