② 伴随矩阵法

若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为

A11 A21 ¼ An1

A*= A12 A22 ¼ An2 =(Aij)T.

¼ ¼ ¼

A1n A2n ¼ Amn

规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.

基本公式: AA*= A*A= |A|E.

于是对于可逆矩阵A,有

A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1.

因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵

a b * d -b

c d = -c a ,

因此当ad-bc¹0时,

a b -1 d -b

c d = -c a (ad-bc) .

伴随矩阵的其它性质:

① 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.

② |A*|=|A|N-1.

③ (A-T)*=(A*)T.

④ (cA)*=c n-1A*.

⑤ (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k.

⑥ (A*)*=|A|N-2 A.