2018考研数学:特征值、特征向量

点赞(0) 反对(0) 本站小编 免费考研网 2018-01-01 14:35:27 阅读(0)
特征值、特征向量是线性代数的重要内容之一,也是历年考研重点之一。它涉及到行列式、矩阵、相关、无关、秩、基础解系等一系列问题,知识点多,综合性强,必须要好好复习。后面部分的二次型实际上是特征值的几何应用,复习二次型时一定要搞清楚二次型与特征值、特征向量之间的内在联系。下面请随老师来总结一下有关特征值、特征向量的相关内容及计算。

1.特征值与特征向量的概念

(1)定义:设 为 阶方阵,如果数 和 维非零列向量 满足 ,则称 为 的特征值, 为 的对应于 的特征向量。

(2)特征方程: 称为矩阵 的特征方程, 称为 的特征多项式。

2.特征值与特征向量的计算方法

(1)定义法

(2)特征方程法

①由 求出全部特征值 ( );

②求出每个方程 的基础解系 ( )( );

③线性组合 ( 不同时为0)就是 的对应于 的全部特征向量。

(3)性质法(运用特征值与特征向量的性质)。

3.特征值的性质

(1)和、积性质

① , 称为 的迹, 是 的全部特征值;

② ;其中 。

【注】 可逆 ( )

不可逆 0是 的特征值。

(2) 与 有相同的特征值。

(3)若 可逆, 是 的特征值,则 分别有特征值 ,且与 有相同的特征向量。

(4)实对称矩阵的特征值为实数。

(5)若 是 的特征值, 是对应的特征向量,则 是 的特征值, 是其对应的特征向量;特别是, 分别有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值为 ,则 的全部特征值为 ,其中 是任意多项式。

4.特征向量的性质

(1)对应于不同特征值的特征向量线性无关;

(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交;

(3)若 是对应于同一个特征值 的特征向量,则 也是对应于 的特征向量;

【注】若 是对应于不同特征值 的特征向量,则 必不是特征向量。

(4)若 是 重特征值,则属于 的线性无关的特征向量的个数不超过 个;

(5)若 是实对称矩阵的 重特征值,则属于 的线性无关的特征向量的个数有 个。

本文主要介绍了特征值、特征向量的概念、性质及相关计算方法。希望2018考生可以多去练习及应用。这一部分考研出题较灵活,经常会利用相关性质考查相关题目。希望2018考生可以牢牢掌握该知识点。最后,希望2018考研的同学们好好复习并掌握这一部分的知识,争取在2018研究生入学考试中,取得优异成绩!
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