2019年长春理工大学实变函数与泛函分析考研加试大纲

本站小编 免费考研网/2019-05-29

长春理工大学数学研究生入学加试

《实变函数与泛函分析》考试大纲

一、总体要求

考生应按本大纲的要求,掌握Lebesgue的测度论,实变量的可测函数理论,Lebesgue积分理论与微分理论,掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子,有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子,掌握Hilbert空间的基本性质。较好的掌握测度论与抽象积分理论,并且在一定程度上掌握集合的分析方法。

二、教材

《实变函数与泛函分析基础(第二版)》,程其襄等,高等教育出版社,2003.

三、考试内容

(一) 集合

1. 掌握集合的概念,集合的包含和相等的关系和判定方法;

2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算,掌握上限集、下限集和收敛集的定义

3. 会求集合的和、交、差、余,会求集合族的上限集、下限集,会判定集合列是否收敛;

4. 理解集合基数的概念,对等的概念,掌握Bernstein定理,会用Bernstein定理判定集合对等;

5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质,能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合;

6. 知道不存在具有最大基数的集合。

(二)点集

1. 理解距离和距离空间的概念,懂得Euclid空间是距离空间;

2. 掌握邻域的概念与性质,掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念;

3.深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义,理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质;

4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质,掌握紧集的概念,完备集的概念,掌握有限覆盖定理;

5. 理解直线上开集、闭集的构造定理,掌握Cantor集的性质。

(三)测度论

1.深入理解并熟练掌握外测度,L-可测集的定义和基本性质,并掌握典型的例子

2.理解

代数的定义,掌握Borel集、 型集、 型集的定义,明确可测集和Borel集、 型集、 型集之间的关系,掌握L-可测集类;

(四)可测函数

1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件,掌握简单函数的概念,几乎处处收敛的概念,理解简单函数与可测函数的关系;

2. 理解Egorov定理,Lusin定理;

3. 理解并掌握依测度收敛的定义,理解Riesz定理,Lebesgue定理,会利用这两个定理去解决实际问题。

(五)积分论

1. 理解并熟练掌握Lebesgue积分的定义和等价条件,明确L-可积函数的种类;

2. 熟练掌握L-积分的性质:特别是Lebesgue控制收敛定理,Levi定理,逐项积分定理,积分的可数可加性,Fatou引理,能够熟练地利用这些性质解决实际问题;

3. 知道L-积分与R-积分的关系;理解Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理。

(六)微分与不定积分

1. 掌握单调函数、有界变差函数的可微性和其微分的L-可积性,掌握不定积分的概念,绝对连续函数的概念,以及L-可积函数的Newton-Leibniz公式;

2. 理解分步积分法;

3. 了解Steiltjes积分。

(七)度量空间和赋范线性空间

1. 理解并熟练掌握度量空间中的相关概念和性质,特别是可分空间,完备度量空间,度量空间的完备化公理,压缩影射原理及应用;

理解并掌握赋范线性空间的定义,例子;掌握Banach空间的定义,例子和性质。

(八)有界线性算子和连续线性泛函

1. 理解并掌握有界线性算子,无界线性算子,连续线性泛函的定义和例子;

2.理解并掌握算子范数的定义,会求简单的算子范数;

3.理解并掌握有界线性算子空间及其共轭空间的定义,例子,及简单的性质,会求简单的线性算子空间的共轭空间;

4.了解广义函数的定义和例子。

(九) Hilbert空间

1. 掌握内积空间的定义,Hilbert空间的定义和例子,明确内积空间中范数、距离及正交的定义;

2. 理解并掌握Hilbert空间中的投影定理;

3. 掌握规范正交系,Fourier系数的定义,理解并掌握完全规范正交系,Fourier展开式的概念,掌握完全规范正交系的等价条件,判定定理,以及Hilbert空间中完全规范正交系的存在性;

4. 掌握Riesz表示定理,共轭算子的概念及性质;

5. 了解自伴算子,酉算子和正常算子的定义和简单性质。

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