长春理工大学数学研究生入学复试

《常微分方程》考试大纲

一、总体要求

本课程主要是使学生掌握一阶微分方程的初等解法、一阶微分方程的解的存在定理、高阶微分方程及线性微分方程解的一般理论，了解非线性微分方程解的稳定性.常微分方程是一门与实际应用联系很强的课程，在学习过程中，应当理论联系实际，通过学习该课程使学生能提出问题、分析问题、解决问题，增强学生分析问题和解决问题的能力.

二、教材

常微分方程(第三版)，王高雄等，高等教育出版社，2006.

三、考试内容

(一)一阶微分方程的初等解法

1.要求考生熟练变量分离方程、齐次方程的求解.

2.要求考生理解一阶线性方程与常数变易法，并用常数变易法求解伯努利方程.

3.要求考生熟练掌握恰当方程的解法，对于非恰当方程，要求会求积分因子，并熟练求出其解.

4.要求考生了解一阶隐式方程与参数表示，并会求解一些一阶隐式方程.

5.能够解决比较简单的应用问题.

(二)一阶微分方程的解的存在唯一性定理

1.要求考生熟练掌握一阶微分方程解的存在唯一性定理的表述及证明方法，并会利用解的存在唯一性定理解决实际问题.

2.要求考生理解解的延拓、解对初值的连续性与可微性定理，以及奇解和包络，掌握怎样求解的最大存在区间.

(三)高阶微分方程

1.要求考生理解高阶线性微分方程一般理论，并熟练用常数变易法求解高阶微分方程.

2.要求考生熟练掌握常系数线性微分方程的解法.

(四)线性微分方程组

1.要求考生理解线性微分方程组的一般理论，掌握线性齐次微分方程组的解组的线性相关性与朗斯基行列式的关系，了解齐次微分方程组的解的结构与刘维尔公式.

2. 要求考生在已知齐次方程组的一个基础解系的条件下，会通过系数变易的方法求出非齐次方程组的一个特解.

3.要求考生熟练掌握常系数线性微分方程组的解法.

(五)非线性微分方程

1.要求考生了解按线性近似微分方程组的稳定性，掌握平面线性定常系统奇点类型分析方法;掌握平面定常系统奇点附近轨线分析方法.

2.要求考生熟练掌握李雅普诺夫第二方法判断线性微分方程的稳定性，了解平面定常系统极限环存在性判别方法.