答案解析：

1. heat前加the。因为前面已经出现过了heat，所以此处为特指。

2. an→the。“the entire world”为习惯用法，表示“全世界，整个世界”，因为世界是独一无二的，所以不能使用不定冠词，必须改为定冠词。

3. better前加the。

4. such前加an。

5. case前加the。“in case of”表示“万一”的意思，显然不符合原句意思，应该改为“in the case of”意为“在……情况下”。

6. dozen前加a。

7. a删去。“in part”表示“部分”的意思，中间不需要任何冠词。

8. at和same之间加the。

9. from和fact之间加the。“fact”后面接同位语从句，所以此处定指。

10. to后面加the。