这个恒等式可以通过组合数的性质来证明，我们要证明的是：\n\n\\[\n\\binom{n}{k} = n \\cdot \\binom{n-1}{k-1}\n\\]\n\n### 证明过程：\n\n首先，我们回顾一下组合数的定义，组合数 \\(\\binom{n}{k}\\) 表示的是从 \\(n\\) 个不同元素中选取 \\(k\\) 个元素的选取方式的总数。\n\n#### 步骤 1: 展开组合数的定义\n\n根据组合数的定义，我们可以将 \\(\\binom{n}{k}\\) 和 \\(\\binom{n-1}{k-1}\\) 展开为阶乘的形式：\n\n\\[\n\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\n\\]\n\n\\[\n\\binom{n-1}{k-1} = \\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = \\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\n\\]\n\n#### 步骤 2: 将 \\(n\\) 乘以 \\(\\binom{n-1}{k-1}\\)\n\n接下来，我们将 \\(n\\) 乘以 \\(\\binom{n-1}{k-1}\\) 的展开形式：\n\n\\[\nn \\cdot \\binom{n-1}{k-1} = n \\cdot \\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\n\\]\n\n#### 步骤 3: 化简表达式\n\n现在我们可以将 \\(n\\) 与 \\((n-1)!\\) 结合，得到 \\(n!\\)：\n\n\\[\nn \\cdot \\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \\frac{n \\cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\n\\]\n\n进一步，我们可以在分母上乘以 \\(k\\)（因为 \\(k \\cdot (k-1)! = k!\\)），得到：\n\n\\[\n\\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = \\frac{n!}{k \\cdot (k-1)!(n-k)!} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\n\\]\n\n#### 步骤 4: 得到原始组合数\n\n这样我们就得到了原始的组合数 \\(\\binom{n}{k}\\) 的定义形式：\n\n\\[\n\\frac{n!}{k!(n-k)!} = \\binom{n}{k}\n\\]\n\n### 结论\n\n因此，我们已经证明了\n\n\\[\nn \\cdot \\binom{n-1}{k-1} = \\binom{n}{k}\n\\]\n\n这个恒等式通过组合数的性质和阶乘的基本操作得到了证明。