I 节约脑力--怎样构造函数，解决有关柯西定理的证明题

先举个例子

设函数F（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且F（A）=F（B）=0，求证存在S属于（A，B），使
S*F（S）+F‘（S）=0

这类问题都可以化成求S，使F（S）=G（S）*F’（S）的问题，
解决方法是构造函数。

令 G1（X）=-1/G（X）的积分
Q（X）=e^G1(X)
则我们构造出F（X）*Q（X）这个函数，再用柯西定理去解决。

试试看，不用再绞尽脑汁去构造函数。

文章开头的例子的解法：
求S 使S*F（S）+F‘（S）=0
即F（S）=-1/S*F‘（S）
令G（X）=-1/X
则G1（X）=-1/G（X）积分=X积分=X*X/2
则Q(X)=e^(X*X/2)

现在我们构造出函数 P（X）=F（X）*Q（X）=F（X）*e^(X*X/2)
则函数P（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且P（A）=P（B）=0
根据柯西定理，存在一点S，使P’（S）=0
P‘（X）=F（X）*e^(X*X/2)*X+F’（X）*e^(X*X/2)
=[X*F（X）+F‘（X）]*e^(X*X/2)
存在S使P’（X）=0，
因为e^(X*X/2)《》0
所以S*F（S）+F‘（S）=0

这些通用解法可以节省时间，否则要想出Q(X)=e^(X*X/2)太费劲