MBA联考数学试题解析

网络资源免费考研网/2009-01-16

MBA联考数学试题解析

一、选择题

1.某厂一生产流水线，若每15秒可出产品4件，则1小时该流水线可出产品

    (A)480 件      (B)540 件     (C)720 件
    (D)960 件      (E)1080 件

    解：15秒生产4件，
        则1分钟生产4×4=16件，
        1小时生产16×60=960件，
        正确的选择是D。

                                 1    1
2.若 x2+bx+1=0 的两个根为x1和x2，且— + —=5，则b的值是
                                 x1   x2
    (A)-10              (B)-5             (C)3
    (D)5                (E)10
            1    1   x1+x2
    解：已知— + —= ——— =5,
            x1   x2  x1·x2
        由韦达定理：x1x2=1,x1+x2=-b,得b=-5.
        正确的选择是B。

3.某投资者以2万元购买甲、乙两种股票，甲股票的价格为8元/股，乙股票的价
格为4元/股，它们的投资额之比是4：1。在甲、乙股票价格分别为10元/股和
3元/股时，该投资者全部抛出这两种股票，他共获利

    (A)3000元           (B)3889元         (C)4000元
    (D)5000元           (E)2300元

  解：期初，2万元投资于甲和乙两种股票，比例为4：1，

                         5             16000
      故投资于甲为20000×—=16000元，共———=2000股，
                         4                8
                       1             4000
      投资于乙为20000×—=4000元，共———=1000股，
                       5               4
      期末，卖出A共得2000×10=20000元，
      卖出B共得1000×3=3000元。
      共卖得23000元。
      故总盈利23000-2000=3000元。
      正确的选择是A。

4.甲仓存粮30 吨，乙仓存粮40 吨，要再往甲仓和乙仓共运去粮食80 吨，使甲
仓粮食是乙仓粮食数量的1.5倍，应运往乙仓的粮食是

    (A)15 吨             (B)20 吨           (C)25 吨
    (D)30 吨             (E)35 吨

  解：最后A、B两仓共计30+40+80=150 吨，
      又知甲：乙=1.5:1,
                     1
      故乙仓为150×———=60 吨，
                   1.5+1
      须向乙仓再运行60-40=20 吨。
      正确的选择是B。

      -------                10
5.若√(a-60)2 +|b+90|+(c-130)  =0,则a+b+c的值是

    (A)0                (B)280            (C)100
    (D)-100             (E)无法确定

    解：a=60,b=-90,c=130,
       所以a+b+c=100.
       正确的选择是C.

6.一等差数列中，a1=2,a4+a5=-4，该等差数列的公差是

    (A)-2               (B)-1             (C)1
    (D)2                (E)3

    解：设公差为d，由已知得
       a1=2
    ｛
       a4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=-4
    解得d=1.
    正确的选择是B。

        4                 2
7.(3-2x) 的二项展开式中，x 的系数是

    (A)126              (B)148            (C)205
    (D)216              (E)264

                     2   2      2
    解：x2项的系数为C4·3 ·(-2) =216.
    正确的选择是D。

8.若圆锥体的高h和底半径r的比是4：3，且侧面积为15π，则它的高h是
                                                -
    (A)4                (B)5              (C)3√2
          -                   -
    (D)3√3             (E)4√2

                    ------     3
    解：侧面积=πr√h2+r2 ,而r=--h,
                               4
                    _________
               3         9
    得15π=π·- h√h2 + —h2 ,
               4         16
    解得h=4.
    正确的选择是A。

9.ab<0时，直线y=ax+b必然

    (A)经过1、2、4象限
    (B)经过1、3、4象限
    (C)在y轴上的截距为正数
    (D)在x轴上的截距为正数
    (E)在x轴上的截距为负数

    解：ab<0则a<0,b>0或a>0,b<0
    若a<0,b>0，则直线图形如图1所示，
    若a>0,b<0，则直线图形如图2所示，

    故当ab<0时直线y=ax+b在x轴上的截距为正。
    正确的选择是D。

10.若菱形ABCD的两条对角线AC=a,BD=b，则它的面积是

                           1                    ____
    (A)ab               (B)—ab            (C)√2ab
                           3 __
       1                   √2
    (D)—ab              (E)—ab
       2                    2
    解：在菱形中两对角线必正交(垂直)
           1
    故面积=—ab
           2
    正确的选择是D。

11.若圆柱体的高增大到原来的3倍，底半径增大到原来的1.5倍，则其体积增大
到原来的体积的倍数是

    (A)4.5              (B)6.75           (C)9
    (D)12.5             (E)15

    解：圆柱体体积V=hπr2，
        h和r增加后的体积V=3h·π(1.5r)2=6.75hπr2.
        正确的选择是B。

12.圆方程x2-2x+y2+4y+1=0的圆心是

    (A)(-1,-2)          (B)(-1,2)         (C)(-2,2)
    (D)(2,-2)           (E)(1,-2)

    解：x2-2x+y2+4y+1=(x-1)2+(y+2)2-4=0，
       圆心为(1，-2)。
       正确的选择是E。

            2
            —
13.lim(1+3x)x=
   x→0

    (A)1                (B)0              (C)e2
    (D)e3               (E)e6

                   2             6
                   —            —   6
    解：lim (1+3x) x =lim (1+3x) 3x =e .
        x→0          x→0
      正确的选择是E

            x2+2x     (x≥0)
14.若f(x)=｛                    在x=0处可导，则a=
            ln(1+ax)  (x<0)
    (A)-2               (B)2               (C)-1
    (D)1                (E)0
    解：由lim  f(x)=0,lim  f(x)=0,f(0)=0知f(X)在x=0连续，0
          x→+0       x→-0
                                     a
    求导：x>0时f(x)=2x+2,x<0时f(x)=-----,
                                   1+ax
    令x→0解得a=2。
    正确的选择是B。
                                                            ?
15.y=xxr 导数y=
    (A)Xx(1+lnx)        (B)Xxlnx           (C)Xx-1
    (D)Xx(1-lnx)        (E)Xx-1(1+lnx)
                     1
    解：由lny=xlnx,得-y=lnx+1.
                     y    所以y=y(lnx+1)=xx(lnx+1).

16.在下列积分中，其值等于0的是
         1                   1                   1
    (A)∫  sin2xdx      (B)∫ cos2xdx       (C)∫ cos3xdx
         -1                 -1                  -1
         1                   1
    (D)∫  sin2xdx      (E)∫  xsinxdx
         -1                 -1
    解：利用函数的奇偶性和区间的对称性得
      1
    ∫  sin2xdx =0,
      -1
    其他积分都非0.
    正确的选择是D.

             1      1
           ---     --
17.若∫f(x)e xdx=-e x+C，则f(x)=
       1                 1                    1
    (A)-              (B)--               (C)--
       x                 x2                   x
                          1
         1                -
    (D)---            (E)ex
        x2
                 1       1        1
                --  d   --       --   1          1
    解：由f(x) e x=--(-e x +c)=-e x ·--得f(x)=- --.
                   dx                 x2         x2
    正确的选择是D。

          -----
18.f(x)=√x-x2 的定义域是
    (A)(-∞,1〕       (B)(-∞,0),(1,+∞)  (C)(0,1)
    (D)(-∞,0〕,〔1,+∞)  (E)〔0,1〕
    解：定义域为x-x2=x(1-x)≥0,
        解不等式得0≤x≤1.
        正确的选择是E。

19.下列矩阵中，行列式值为0的矩阵是

          | 3  2  1 |             | 0  0  3 |       | 0 -1  0 |
       (A)| -3 2  1 |          (B)| 0 -1  0 |    (C)| 3  0  0 |
          | 0  0  1 |             | 1  3  0 |       | 0  0  1 |

          | 3  2  1 |             | 3 -1  6 |
       (D)| 2  1  4 |          (E)| 2  2  4 |
          | 6  4  1 |             | 1  6  2 |

    解：(E)中行列式的第1列和第3列成正比例，故行列式为0，其他行列式非0。
        下确的选择是E。

20.10件产品中有3件次品，从中随机抽出2件，至少抽到一件次品的概率是
       1                 2                   7
    (A)-              (B)-                (C)--
       3                 5                   15
       8                 3
    (D)--             (E)-
       15                5
    解：10件中随机抽出2件，全是正品的概率为
     2
    C7   7
    ----=---.
     2   15
    C10
    所以抽出2件至少抽到一件次品的概率为
       7   8
    1- ---=--.
       15  15
    正确的选择是D。

二、计算题

21.求由方程xy+ey-sin(xy2)=1所确定的函数y=y(x)的导数y。

        y+xy+ey·y-cos(xy2)(y2+2xyy)=0,
        即(x+ey-2xycos(xy2))y=y2cos(xy2)-y,
                y2cos(xy2)-y
       解得y=———————— .
              x+ey-2xycos(xy2)

                                                            1
22.若一条二次曲线把(-∞,0)内的曲线段y=ex和(1，+∞)内曲线段y=—连结成一
                                                            x
条一阶可导的曲线，求定义在〔0,1〕上的这条二次曲线y=ax2+bx+c。

    解：曲线在x=0,x=1处连续，故有
         c=1
      ｛
         a+b+c=1

    曲线在x=0,x=1处可导，故又有

         b=1
      ｛
         2a+b=-1

    解得  a=1,b=1,c=1
    所以曲线方程y=-x2+x+1.

             1-x  1
23.求极限lim(----)-
         x→0 1+x x
                  1
              1-x -               1  1-x
    解：令y=(----)x           lny=-ln----,
             1+x                  x  1+x
                          -(1+x)-(1-x)
                          -------------
         1    1-x             (1+x2)
    lim  - ln ----=lim  -----------------=-2,
    x→0 x    1+x  x→0      1-x
                            -----
                             1+x
另一解法：
                          1
                          -
              1  lim (1-x)x
         1-x  -  x→0        -2
    lim (----)x =----------=e
    x→0 1+x              1
                          -
                 lim (1+x)x
                 x→0

24.计算∫x2exdx.

    解：利用分部积分法

    ∫x2exdx=∫x2dex=x2ex-2∫exxdx
    =x2ex-2∫xdex
    =x2ex-2(xex-∫exdx)
    =x2ex-2(xex-ex)+c.

25.求函数y=x3-x2-x+1在〔0,2〕上的极值，最大值和最小值.

    解：由y=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)=0
                 1
     得其根为x=- -(舍去)，x=1,
                 3
     作表：
           x  | 〔0,1)  |    1   | (1,2〕
          ----|---------|--------|-------
           y |    -    |    0   |  +
          ----|---------|--------|-------
           y  |   ↓    | 极小值 |  ↑  （注：箭头右下，右上）

    极小值是y|x=1 =0, 在端点处，y|x=0   =1,y|x=2  =3,
    所以最大值是3，最小值是0.

                   | 1 1 -1 |   | 2 |
26.已知AX=B，其中A=| 0 1  0 |,B=| 3 |，求X.?
                   | 1 1  1 |   | 6 |

    解：|A|≠0,用A-1左乘方程AX=B的两端得X=A-1B,
           -           -
           | 1       1 |
           | -  -1   - |
       -1  | 2       2 |
    而A  = | 0   1   0 |
           | 1       1 |
           |--   0   - |
           | 2       2 |

             | 1       1 |
             |—  -1  — |
             | 2       2 | | 2 |   | 1 |
    所以X  = | 0   1   0 | | 3 | = | 3 |
             | 1       1 | | 6 |   | 2 |
             |-—   0  —|
             | 2       2 |

27.计算n阶行列式

   | a  0  0  … 0  1 |
   | 0  a  0  … 0  0 |?
   | 0  0  a  … 0  0 |
D= | … …            |
   | 0  0  0  … a  0 |
   | 1  0  0  … 0  a |

            | a       |          | 0  a  0  …  0 |
            |   a     |      1+n | 0  0  a  …    |
    解：D=a |         | +(-1)    |……            |
            |     …  |          | 0  0  0  …  a |
            |       a |          | 1  0  0  …  0 |
         =an+(-1)n+1(-1)nan-2
          =an-an-2.

28.求解线性方程组

       x1-2x2+3x3-4x4=4
    ｛   x2-x3+x4=-3
       x1+3x2  -3x4=1
       -7x2+3x3+x4=-3

    解：利用初等变换，得

          | 1   -2   3   -4   4 |     | 1   -2   3   -4   4 |
          | 0    1  -1    1  -3 |     | 0    1  -1    1  -3 |
    (AB)= |                     | →  |                     |
          | 1    3   0   -3   1 |     | 0    0   1   -2   6 |
          | 0   -7   3    1  -3 |     | 0    0   0    0   0 |

        故同解方程组是
               x1-x2x2+3x3=4+4x4
             ｛     x2-x3=-3-x4
                      x3=6+2x4
               x1=-8
               x2=x4+3
        解得｛ x3=2x4+6
               x4=x4

                                       - -
29.若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)=P(A B), P(A)=0.4，求P(B).
                                      -  -
    解：因为事件A和B相互独立，所以事件A和B也相互独立，从而
                      -   -
           P(A)P(B)=P(A)P(B)
                   =(1-P(A))(1-P(B))
        亦即0.4P(B)=0.6(1-P(B)),
        得(0.4+0.6)P(B)=P(B)=0.6.

30.若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,
               _ _
   求P(A+B)和P(A+B).

    解：因为P(A-B)=P(A)-P(AB).
        所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.5-0.3=0.2,
        P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
              =0.5+0.4-0.2=0.7.
                _ _    __
       又因为 P(A+B)=P(AB)=1-P(AB),
          _ _
     得 P(A+B)=1-0.2=0.8.

    另一解法
     因为 A+B=B+(A-B),B与A-B互斥,
     所以 P(A+B)=P(B)+P(A-B)=0.4+0.3=0.7.
     又因为 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)
                 =0.5+0.4-0.7=0.2,
          _ _    __
     得 P(A+B)=P(AB)=1-P(AB)=1-0.2=0.8.

31.求由曲线y=ex和该曲线的经过原点的切线以及y轴所围图形的面积。

解：曲线的斜率是y=ex，故曲线上(x0,ex0)点的切线方程
         y-ex0=ex0(x-x0),
      又已知切线经过原点，所以
           -ex0=-x0ex0,
      解得x0=1,切线方程为 y=ex,
                1          e
     所求面积=∫ (ex-ex)dx=— -1.
                0          2

                 | 2  1  -1|
32.已知三阶矩阵A=| 1  2  1 |，E为三阶单位阵，问常数λ为何值时，线性齐次方程
                 |-1  1  2 |

   (λE-A)X=0有非零解.

    解：当|λE-A|=0时齐次方程组(λE-A)X=0有非零解，

             |λ-2    -1       1 |    |λ--2      -1      0 |
     |λE-A|=| -1   λ-2      -1 |   =|  -1     λ-2   λ-3 |
             |  1     -1    λ-2 |    |   1       -1   λ-3 |

                    | λ-2    -1    0 |         | λ-2    -1    0 |
            =(λ-3) |  -1   λ-2    1 | =(λ-3) |  -1   λ-2    1 |
                    |   1     -1    1 |         |   2   1-λ    0 |

            =(λ-3)2λ=0.

    所以当λ=0或λ=3时，(λE-A)X=0有非零解.