中国科学技术大学2000年考研真题-数学分析

本站小编 FreeKaoyan/2018-01-22

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1. (15分)
定义函数
┌(x^3)/(x^2+y^2), x^2+y^2>0
f(x,y)=│
└0, x=y=0
证明f在(0,0)处连续但不可微.

2. (20分)
设f<n>(x)=(x^n)log(x), n是自然数
(i) 证明:
(f<n>{(n)}(x))/(n!)=(f<n-1>{(n-1)}(x))/((n-1)!)+(1/n),
n=1,2,...
(ii)计算极限
lim (f<n>{(n)}(1/n))/(n!)
n→∞

3. (15分)
在R^3中,由下列平面
y=1, y=-x, x=0, z=0, z=-x
围成的闭域记为D, 计算积分
I=∫∫∫ exp(x+y+z)dxdydz
D

4. (15分)
定义向量场

F(x,y)=( (x(exp((x^2+y^2)^(1/2))))/((x^2+y^2)^(1/2)),
(y(exp((x^2+y^2)^(1/2))))/((x^2+y^2)^(1/2)) ),
x^2+y^2>0.
证明: → →
F是有势场,并求出F的一个势函数.

5. (25分) ∞
设f(x)=∑1/(x+2^n), x∈[0,+∞).
n=0
证明:
(i) f在[0,+∞)上连续;

(ii) lim f(x)=0;
x→+∞
(iii) 对一切x∈[0,+∞)有
0<f(x)-(log(1+x))/(xlog2)<1/(1+x).

6. (10分)
设f在[-a,a]上有连续的导数, 证明:
a a
lim ∫(1-cosλx)(1/x)f(x)dx=∫(f(x)-f(-x))(1/x)dx.
λ→∞ -a 0


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