科目: 线性代数
注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.
1.(10分)
求以A(1,2,2),B(2,4,1),C(1,-3,5),D(4,-2,3)为顶点的四面体的体积.
2.(16分)
计算矩阵: (1 1 1 1) ^(-19)
(1)( cos(pi/7) sin(pi/7) ) ^1997 (2)(0 1 1 1)
(-sin(pi/7) cos(pi/7) ) , (0 0 1 1)
(0 0 0 1)
3.(14分)
t取哪些值时,下面的方程组有非零解.
┌x1+x2+x3+...+xn=0
│x1+(1-t)x2+x3+...+xn=0
-│x1+x2+(2-t)x3+...+xn=0
│......
└x1+x2+x3+...+(n-1-t)xn=0
4.(14分)
设V是实数域上全体2x2矩阵组成的线性空间(维数为4),V上的线性变换T将每个矩阵X映到
它的转置X',求V的一组基,使T在这组基下的矩阵为对角阵.
5.(15分)
求证:曲面3*x^2+2*y^2+2*z^2-2xy+2xz-8=0是椭球面.并求出这个椭球面所围成的体积.
(允许引用椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1(a,b,c>0)所围成的体积的公式
V=4/3*pi*abc)
6.(15分)
证明:复方阵A的最小多项式与特征多项式相等的充分必要条件是:A的特征子空间都是一
维的.
7.(16分)
设A,B是n阶复方阵,且AB=BA.证明:
(1)A,B有公共的特征向量 -1 -1
(2)如果A,B都相似于对角阵,则存在同一个可逆复方阵T,使T A T与T B T同时为对角阵