考试科目：高等代数
适用专业：基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、系统分析与集成
一、复习要求：
要求考生熟练掌握高等代数的基本理论以及常用的技巧和方法，能够熟练地综合运用高等代数的理论和方法去求解和证明有关问题
二、主要复习内容
本课程考核内容包括行列式、矩阵理论、线性方程组、多项式理论、二次型、线性空间、线性变换七大部分组成.
1. 行列式
行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法）。
重点：n阶行列式的计算。
2. 矩阵理论
矩阵的运算，分块矩阵的初等变换与矩阵的秩，可逆矩阵与伴随矩阵，矩阵的三种等价关系（等价、合同、相似），矩阵的特征值和特征向量，矩阵的迹，矩阵的最小多项式，矩阵的对角化，矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实对称矩阵的正交相似分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称阵与反对称阵，幂等阵，幂零阵，对合阵，正交阵）, 矩阵 (多项式矩阵)理论。
重点：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，矩阵的三种等价关系的关系，矩阵对角化的判断（特别是多个矩阵的同时对角化问题），不变因子、行列式因子和初等因子的求法及其关系，矩阵分解的证明及应用（特别是实对称矩阵的正交相似分解，Jordan标准型的计算与有关证明）。
3. 线性方程组
Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点：非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。
4.多项式理论
多项式的整除，最大公因式与最小公倍式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，多项式函数与多项式的根。
重点：重要定理的证明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判别法，Gauss引理等，运用多项式理论证明有关问题，如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用。
5.二次型理论
二次型线性空间与对称矩阵空间同构，化二次型为标准形和正规形，Sylvester惯性定律，正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质，正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点：正定和半正定矩阵的有关证明，n级方阵按合同关系的分类问题。
6. 线性空间
线性空间的定义，向量组的线性关系（线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组的求法，替换定理），基与扩充基定理，维数公式，坐标变换，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间的交与和（包括直和），内积和欧氏空间的定义及简单性质，度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，线性空间的同构。
重点：向量组的线性相关与线性无关的综合证明，判断一个向量是否由一组向量表示及如何表示，求向量组的极大无关组并用之表示其余向量，维数公式的证明及应用，特别是子空间直和的有关证明，标准正交基的求法及其性质的有关证明。
7. 线性变换
线性变换的定义、运算与矩阵，线性变换的核与值域，不变子空间，线性变换的特征根与特征向量，特征子空间，线性变换的对角化，Hamilton－Caylay定理，正交变换、对称变换与反对称变换，线性变换与其矩阵对应关系的应用。
重点：线性变换的对角化，线性变换的核与值域，线性变换与其矩阵对应关系的应用。
三、参考书目：
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》，北京：高等教育出版社，1988，第2版．
适用专业：基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、系统分析与集成
一、复习要求：
要求考生熟练掌握高等代数的基本理论以及常用的技巧和方法，能够熟练地综合运用高等代数的理论和方法去求解和证明有关问题
二、主要复习内容
本课程考核内容包括行列式、矩阵理论、线性方程组、多项式理论、二次型、线性空间、线性变换七大部分组成.
1. 行列式
行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法）。
重点：n阶行列式的计算。
2. 矩阵理论
矩阵的运算，分块矩阵的初等变换与矩阵的秩，可逆矩阵与伴随矩阵，矩阵的三种等价关系（等价、合同、相似），矩阵的特征值和特征向量，矩阵的迹，矩阵的最小多项式，矩阵的对角化，矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实对称矩阵的正交相似分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称阵与反对称阵，幂等阵，幂零阵，对合阵，正交阵）, 矩阵 (多项式矩阵)理论。
重点：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，矩阵的三种等价关系的关系，矩阵对角化的判断（特别是多个矩阵的同时对角化问题），不变因子、行列式因子和初等因子的求法及其关系，矩阵分解的证明及应用（特别是实对称矩阵的正交相似分解，Jordan标准型的计算与有关证明）。
3. 线性方程组
Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点：非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。
4.多项式理论
多项式的整除，最大公因式与最小公倍式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，多项式函数与多项式的根。
重点：重要定理的证明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判别法，Gauss引理等，运用多项式理论证明有关问题，如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用。
5.二次型理论
二次型线性空间与对称矩阵空间同构，化二次型为标准形和正规形，Sylvester惯性定律，正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质，正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点：正定和半正定矩阵的有关证明，n级方阵按合同关系的分类问题。
6. 线性空间
线性空间的定义，向量组的线性关系（线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组的求法，替换定理），基与扩充基定理，维数公式，坐标变换，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间的交与和（包括直和），内积和欧氏空间的定义及简单性质，度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，线性空间的同构。
重点：向量组的线性相关与线性无关的综合证明，判断一个向量是否由一组向量表示及如何表示，求向量组的极大无关组并用之表示其余向量，维数公式的证明及应用，特别是子空间直和的有关证明，标准正交基的求法及其性质的有关证明。
7. 线性变换
线性变换的定义、运算与矩阵，线性变换的核与值域，不变子空间，线性变换的特征根与特征向量，特征子空间，线性变换的对角化，Hamilton－Caylay定理，正交变换、对称变换与反对称变换，线性变换与其矩阵对应关系的应用。
重点：线性变换的对角化，线性变换的核与值域，线性变换与其矩阵对应关系的应用。
三、参考书目：
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》，北京：高等教育出版社，1988，第2版．