zhumin
向“山路水桥”请教：请老师帮忙看看我这题的做法。。。
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提问时间：2010-01-02 01:39u1=1,u2=1,u(n+1)=2u(n)+3u(n-1),n=2,3....
设bn=u(n)/u(n+1),n=2,3.....证明数列bn收敛，并求之。
我想问的是我这样的做法可取？
u(n)/u(n+1)=/
由于显然un递增，---（这个“显然”是否要说明，怎么说明？）
所以上式分子放大分母缩小，可等<=/=1,即bn有上界
若分子缩小分母放大，得bn>=b(n-2)
所以b(2n)和b(2n+1)都收敛，则b(n)收敛---这步是否正确，是否说明白了？
设limbn=A,又bn=1/2+3b(n-1),求得A=1/3-----已知一个数列收敛，是否都可以这样求？
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最佳答案
山路水桥
(1)你的问题，【真苗大侠】回答得非常正确到位。
①不能把，观察出来的，将不清楚的结论用【显然】来【蒙】（如果老师或教材是这样说的，那么是忽悠人）；
②b(2k)和b(2k+1)都收敛，则b(n)收敛，是个错误结论，例如：1，0，1/2，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，4/5，1/6，5/6，……，1/k，（k-1）/k，……。
除非在证明了【b(2k)和b(2k+1)都收敛，且收敛于同一值】。
(2)在我的博客上说过好几次，关于这个问题
①对于考大学作为压轴题，已经有统一的解题模式，【套简单模式，既麻烦，又陈旧了】；
②对于考研学生来说，因为【考研】不考初等数学特殊技巧，只考高等数学基本概念，那么本题就显得【超纲太远】，尽管他是一个常系数线性齐次差分方程，但是却是二阶的。
(3)为了不使你失望，尽管超纲了，也把高等数学方法（极简单）和初等数学方法（极为巧妙，复杂）都跟你讲一遍：
①特征方程为：r^2-2r-3=0，特征根为：r=-1、3；
通解：u(n)=C1*(-1)^n+C2*(3^n)；
初始条件：u(1)=1，u(2)=1；
特解：u(n)=/6.
所以 bn=u(n)/u(n+1)→1/3。
②高考（初等数学方法）的参考解答，虽然形式上避开了特征方程、特征根，但是本质上是仿此特征方程解法，对递归定义数列表达式u(n+2)=2u(n+1)+3u(n)，进行拆项：
u(n+2)-3u(n+1）=-，
令 x(n)=u(n+1)-3u(n)，则有 x(n+1)=-x(n)=……=x(1)=(-2)* 。
→ x(n)=2*。
即 u(n+1)-3u(n)=2*，再进行拆项：
u(n+1)+(1/2)*=3，
令 y(n)=u(n)+(1/2)*(-1)^n，则 y(n+1)=3y(n)=9y(n-1)=……=(3^n)*y(1)=(1/2)*(3^n)
→ y(n)=(1/2)*=(3^n)/6
即 u(n)=y(n)-(1/2)*(-1)^n=(3^n)/6-(1/2)*(-1)^n。
以下从略。
回答：2010-01-02 09:56老师太厉害了，u(n)都算出来了。。。原题只考究u(n)/u(n+1)，这个是否超纲？
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