柠筱檬
关于随机变量分布函数的一道证明题
--------------------------------------------------
提问时间：2009-07-12 16:33假设随机变量X1,X2的分布函数、概率密度分别为F1(x),F2(x);f1(x),f2(x),如果c>0
证明cF1(x)F2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1
--------------------------------------------------
最佳答案
尚理
一般地，如果说某随机变量有概率密度，那么这个随机变量就是连续型的。但是也有极少数书上把离散型随机变量的分布律（分布列）也叫做概率密度的，所以写题目的时候一定要交代清楚随机变量是何种类型的。
我按照连续型随机变量解答。连续型随机变量的分布函数F(x)具有性质：
(1)在(-∞,+∞)连续且单调增加；
(2)0<F(x)<1，且F(-∞)=0,F(+∞)=1。
反过来说，同时满足上面两个条件的函数F(x)一定是某个随机变量的分布函数。
弄清楚上面概念，本题就非常容易证明了。
证：cF1(x)F2(x)是某一随机变量分布函数
==》cF1(+∞)F2(+∞)=1 ==》c=1
c=1 ==》cF1(x)F2(x)=F1(x)F2(x)
(1)F1(x)、F2(x)在(-∞,+∞)连续且单调增加
==》F1(x)F2(x)在(-∞,+∞)连续且单调增加
(2)0<F1(x)<1，且F1(-∞)=0,F1(+∞)=1,
0<F2(x)<1，且F2(-∞)=0,F2(+∞)=1
==》0<F1(x)F2(x)<1，且F1(-∞)F2(-∞)=0,F1(+∞)F2(+∞)=1
==》cF1(x)F2(x)是某一随机变量分布函数。
回答：2009-07-17 09:04
--------------------------------------------------
