hjc_n
有关高维连续函数的难题
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提问时间：2007-10-10 20:06题目在下面的图片里面
大家请看 补充问题点击看大图
修正:图中的gk(x)的定义有错,正确的gk(x)应该是:图中的gk(x)再乘以M,才是正确的gk(x).
第2问的话,能否把全空间分割成以原点为圆心的一系列球来看待呢?
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最佳答案
zhh2360
(1)
注意gk的定义如下:
gk=/
1.显然有对于任意R^n的A集合,d(x,A)为R^n上的连续函数.
2.用归纳法证明:
若φk在D上的连续,由于D是R^n的闭集
==>
Ak,Bk是R^n的闭集,且Ak∩Bk=Φ.
==>
d(x,Ak)+d(x,Bk)≠0,任意x∈R^n.
==>
gk在R^n上的连续,
==>
φ(k+1)在D上的连续.
所以有任意φk在D上的连续,gk在R^n上的连续.
3.
证明:所有|φk(x)|≤M*(2/3)^(k-1).
只要证明:|φ2(x)|≤M*(2/3),就可用归纳法.
φ2(x)=f(x)-g1(x)=φ1(x)-g1(x)
ⅰ.x∈A1==>d(x,Ak)=0
==>g1(x)=M/3,而M≥f(x)≥M/3
==>
0≤f(x)-g1(x)=φ2(x)≤2M/3.
ⅱ.x∈B1和ⅰ.同理得:
-2M/3≤f(x)-g1(x)=φ2(x)≤0
ⅲ.
x∈D-(A1∪B1),
==>|f(x)|≤M/3,而|g1(x)|≤M/3
==>
|φ2(x)|=|f(x)-g1(x)|≤M/3
ⅳ.由ⅰⅱⅲ得:|φ2(x)|≤M*(2/3),
ⅴ.利用|φ2(x)|≤M*(2/3)的结论
==>
|φ3(x)=φ2(x)-g2(x)|≤*(2/3)=M*(2/3)^2
递推可得:所有|φk(x)|≤M*(2/3)^(k-1).
4.由于|gk(x)|≤2^(k-1)*M/3^k,所以
∑{1≤k}gk(x)一致收敛.
而x∈D,|f(x)-|=|φk(x)|≤M*(2/3)^(k-1).
==>
f(x)=∑{1≤k}gk(x).
(2)
将Gn(x)=∑{1≤k≤n}gk(x).
(1)的结论可叙述如下:
当f(x)在D上的连续,且有界,则有在R^n上的连续函数
Gn(x),满足:Gn(x)在R^n上一致收敛于g(x),当x∈D时,
g(x)=f(x).
下面利用(1)的结论证明f(x)有界的条件可以去掉.
1.容易验证如下结论:
若F是C(r)={z,||z||=r}上的连续函数,
G是C(R)={z,||z||=R}上的连续函数,r<R.
H(x)=tF(z1)+(1-t)G(z2),其中x=tz1+(1-t)z2,
||z1||=r,||z2||=R,0≤t≤1.
则H是{z,r≤||z||≤R}上的连续函数.
2.设f(x)在闭集D上的连续.
设O(m)={z,||z||≤m},D(1)=O(1)∩D
D(m)=O(m-1)∪,
其中m为≥2的正整数.
则D(m)闭集,且f(x)在D(m)上有界.
根据(1)的结论得:
有一系列在R^n上的连续函数如下.
ⅰ.
有G(k,1)(x),满足:G(k,1)(x)在R^n上一致收敛于g(1)(x),
当x∈D(1)时,g(1)(x)=f(x).
ⅱ.定义f(1)(x)=g(1)(x),当x∈D(1),
f(1)(x)=f(x),当x∈D(2)-D(1)
则 f(1)(x)为定义在D(2)的连续函数.
有G(k,2)(x),满足:G(k,2)(x)在R^n上一致收敛于g(2)(x),
当x∈D(2)时,g(2)(x)=f(1)(x).
ⅲ.
同理可递推得到函数如下:
定义f(m)(x)=g(m)(x),当x∈D(m),
f(m)(x)=f(x),当x∈D(m+1)-D(m)
则 f(m)(x)为定义在D(m+1)的连续函数.
有G(k,m+1)(x),满足:G(k,m+1)(x)在R^n上一致收敛于g(m+1)(x),
当x∈D(m+1)时,g(m+1)(x)=f(m)(x).
显然有x∈D(m+1)∩D时,g(m+1)(x)=f(x).
3.根据2.中的一系列函数,我们定义一系列连续函数如下:
ⅰ.
F(s)(x)=G(k,1)(x),其中x∈ O(1),
且|G(k1,1)(x)-g(1)(x)|<1/s
ⅱ.任意正整数m>1,
F(s)(x)=G(k(m),m)(x),其中x∈{z,m-U(m,s)≤||z||≤m},
且|G(k(m),m)(x)-g(m)(x)|<1/s 当x∈ O(m),
且|g(m)(z2)-g(m)(tz1+(1-t)z2)|<1/s
当||z1||=m-U(m,s)和||z2||=m和0≤t≤1.
F(s)(x)=tG(k(m),m)(z1)+(1-t)G(k(m-1)(z2),
x=tz1+(1-t)z2.
ⅲ.由ⅱ.和1.2.的内容得:
F(s)在R^n上连续,
且|F(s)(x)-g(m)(x)|<5/s,x∈O(m)-O(m-1)
所以F(s)(x)一致收敛于连续函数g(x).
而且当x∈D时,g(x)=f(x).
这里g(x)=g(m)(x)x∈O(m)-O(m-1).
很长慢慢看吧.
回答：2007-10-14 21:14非常感谢!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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其它回答
一生爱你千百回
看不清楚图片
回答：2007-10-12 18:23
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