robinchz
An,Bn是正定矩阵,AB=BA
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提问时间：2006-09-28 20:53An,Bn是正定矩阵,AB=BA
(1)证明AB是正定矩阵
(2)为何:AB=BA，A、B是正定阵==>AB为实对称矩阵 补充问题解答
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最佳答案
真苗大侠
(1)证明：
因为AB正定，所以A`=A，B`=B且存在可逆矩阵P，Q，使A=P`P，B=Q`Q。
故(AB)`=B`A`=BA=AB，即AB是对称矩阵。
Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`Q)(Q^-1)=(PQ`)`(PQ`)
记M=PQ`，因PQ均可逆，知M可逆，M`M正定。
AB相似于M`M，从而AB的特征值全大于0，故AB是正定矩阵。
(2)对称是一个矩阵正定的前提，也就是说只有对称矩阵才有资格被讨论是否为正定矩阵，而正定矩阵必为对称矩阵。
回答：2006-10-09 10:34
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